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Schwarzschild-Metrik

Schwarzschild-Metrik

Die Vakuumlösung der Einstein-Gleichungen im stationär, sphärisch-symmetrischen Fall ist unter dem Namen Schwarzschild-Metrik (nach Karl Schwarzschild) bekannt. Das Linienelement beschreibt das äußere Gravitationsfeld eines nichtrotierenden, elektrisch neutralen Körpers. In Schwarzschild-Koordinaten hat es die Form: ds^2 = -c^2(1-)dt^2++r^2d\theta^2+r^2 sin^2\theta d\phi^2. Dabei ist G die Gravitationskonstante, c die Lichtgeschwindigkeit und M die Masse des Zentralkörpers. Am Schwarzschildradius (r_s = 2GM/c^2) wird die Schwarzschild-Metrik singulär. Dies ist jedoch eine Koordinatensingularität und kann durch Wahl anderer Koordinaten (z.B. Kruskal-Szekeres-Koordinaten) umgangen werden.

Siehe auch


- Schwarzschildradius
- Kerr-Metrik Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie ja:シュヴァルツシルトの解

Einstein-Gleichungen

Die Entwicklung der einsteinschen Feldgleichungen basiert auf der Grundidee, die Schwerkraft zu geometrisieren, also alle Eigenschaften der Gravitation und ihrer Wirkung auf physikalische Prozesse mit Hilfe der Eigenschaften eines riemannschen Raumes abzubilden. Eines der Grundprobleme liegt dann darin: Wie werden die Eigenschaften des riemannschen Raumes aus einer gegebenen Materieverteilung berechnet? Dazu kann man folgende "natürliche" Forderungen aufstellen: #Die Naturgesetze sollen unabhängig vom Koordinatensystem sein (die Feldgleichungen sollen als Tensorgleichungen beschrieben werden). #Wie die anderen Feldgleichungen der Physik sollen partielle Differentialgleichungen höchstens 2. Ordnung für die zu bestimmenden Funktionen aufgestellt werden, die linear in den höchsten vorkommenden Ableitungen sind. #Sie sollen zur Poisson-Gleichung der newtonschen Gravitationstheorie übergehen: ΔU = 4πGμ (U Potential, G Gravitationskonstante, μ Massendichte), sofern geeignete Vernachlässigungen in Betracht gezogen werden. #Der Energie-Impuls-Tensor soll die Ursache (Quelle) des Gravitationsfelds sein (als Analogon zur Massedichte in der speziellen Relativitätstheorie). #Im flachen Raum soll der Energie-Impuls-Tensor verschwinden. Der nachfolgende Text verwendet die geometrische Interpretation der einsteinschen Theorie. Die Feldgleichungen lauten mit den oben angegebenen Forderungen: R_ - \frac g_=-\frac T_
- G ist das Symbol für die Gravitationskonstante
- c ist das Symbol für die Lichtgeschwindigkeit
- R_ beschreibt die Krümmung der Raumzeit (Ricci-Tensor, abgeleitet aus dem riemannschen Krümmungstensor)
- R ist das Symbol für den Krümmungsskalar
- T_ ist das Symbol für den Energie-Impuls-Tensor
- g_ repräsentiert den metrischen Tensor der allgemeinen Relativitätstheorie Nach der einsteinschen Theorie bewirkt eine Masse eine Krümmung der Raumzeit (d.h. sowohl des Raumes als auch der Zeit), diese Krümmung macht sich in unserer dreidimensionalen Erfahrungswelt als Gravitation bemerkbar. Die Masse findet sich in der Formulierung der einsteinschen Feldgleichungen nicht explizit wieder, sie wird durch den Energie-Impuls-Tensor erfasst. Dabei ist zu berücksichtigen, dass Masse und Energie in der einsteinschen Theorie äquivalent sind, jede Form der Energie induziert schwere Masse (diese bewirkt Gravitation). Der Energie-Impuls-Tensor beinhaltet neben der Massen-Energiedichte (Masse bzw. Energie pro Raumvolumen) weitere Energieformen (z.B. den Druck, den ein Strahlungsfeld ausüben kann). Die durch T_ beschriebene Energiedichte bewirkt eine Krümmung der Raumzeit. Die Krümmung der Raumzeit wird durch R_ erfasst. R wird aus R_ abgeleitet. Bewegungen in der gekrümmten Raumzeit werden durch den metrischen Tensor g_ bestimmt. Die kürzesten Verbindungslinien in der Metrik heißen Geodäten. Sie bestimmen die Bewegung von Teilchen die nur dem Gravitationsfeld unterworfen sind (d.h. auf die keine weiteren äußeren Kräfte einwirken). Man erkennt in der Struktur der Gleichungen, dass eine Zunahme der Krümmung R_ einen höheren Energiegehalt T_ bewirkt, dieser bewirkt wiederum eine stärkere Krümmung. In diesem Sinne ist die Gleichung nicht linear, eine Zunahme der Krümmung kann z.B. auf Grund kosmischer Bewegungen erfolgen (Kollabieren von Galaxienhaufen). Ein solcher Kollaps endet nicht zwangsläufig in einem schwarzen Loch, zur Beschreibung des finalen Zustandes wird der Virialsatz verwendet. Kategorie:allgemeine Relativitätstheorie Kategorie:Gravitation ja:アインシュタイン方程式 ko:중력 방정식

Karl Schwarzschild

Karl Schwarzschild (
- 9. Oktober 1873 in Frankfurt am Main; † 11. Mai 1916 in Potsdam) war ein deutscher Astronom und Physiker und gilt als einer der Wegbereiter der modernen Astrophysik.

Leben

Karl Schwarzschild wurde in Frankfurt als ältestes Kind einer wohlhabenden Familie geboren. Bereits als 16-jähriger Schüler veröffentlichte er in den Astronomischen Nachrichten zwei Arbeiten zur Bahnbestimmung von Planeten und von Doppelsternen. Nach dem Abitur studierte er ab 1890 in Straßburg Astronomie. Er wechselte 1892 nach München, wo er 1896 unter Hugo von Seeliger zum Thema "Die Entstehung von Gleichgewichtsfiguren in rotierenden Flüssigkeiten" promovierte. Ab 1897 arbeitete er zwei Jahre als Assistent an der Kuffner-Sternwarte in Wien. Dort beschäftigte er sich mit der Fotometrie von Sternhaufen und legte die Grundlagen für eine Formel, die die Beziehung zwischen Intensität des Sternlichts, Belichtungszeit und Schwärzung der Fotoplatte in der Astrofotografie beschreibt. Wichtiges Glied dieser Formel ist der Schwarzschild-Exponent. 1899 kehrte er nach München zurück und habilitierte dort. Von 1901 bis 1909 war Schwarzschild Professor und Direktor der Sternwarte in Göttingen. Dort konnte er mit Persönlichkeiten wie David Hilbert und Hermann Minkowski zusammenarbeiten. 1909 wurde er Direktor des Astrophysikalischen Observatoriums in Potsdam. 1912 wurde Schwarzschild Mitglied der Preußischen Akademie der Wissenschaften. Bei Ausbruch des ersten Weltkrieges 1914 meldete er sich freiwillig zur Armee. Er diente an der Ost- und Westfront. Im März 1916 kehrte er als Invalide zurück. Karl Schwarzschild ist der Vater des Astrophysikers Martin Schwarzschild.

Werk

Während des Kriegsdienstes schrieb er 1915 in Russland eine Abhandlung über die Relativitätstheorie und eine über die Quantentheorie. Seine Arbeit zur Relativität erbrachte die erste genaue Lösung der Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie - eine für nicht rotierende kugelförmige symmetrische Körper und eine für statische isotrope leere Räume um feste Körper. Schwarzschild leistete einige grundlegende Arbeiten über klassische Schwarze Löcher. Einige Eigenschaften schwarzer Löcher erhielten deshalb seinen Namen, nämlich die Schwarzschild-Metrik und der Schwarzschildradius. Der Kern eines schwarzen Loches wird Schwarzschild-Singularität genannt. In der Astronomie arbeitete er unter anderem über die fotografische Helligkeitsmessung von Sternen und den Strahlungstransport in der Sonnenatmosphäre. Mit Methoden der Stellarstatistik untersuchte er die Verteilung der Sterne in der Milchstraße. Er verbesserte des Weiteren die Theorie optischer Systeme.

Weblinks


-
- [http://www.avgoe.de/Nachtschicht/1997/rb1s04.html Karl Schwarzschild - Leben und Werk] Schwarzschild, Karl Schwarzschild, Karl Schwarzschild, Karl Schwarzschild, Karl ja:カール・シュヴァルツシルト

Linienelement

Der metrische Tensor (auch Maßtensor) dient dazu, mathematische Räume, insbesondere differenzierbare Mannigfaltigkeiten, mit einem Maß für Abstände und Winkel auszustatten. Dieses Maß muss nicht notwendig alle Bedingungen erfüllen, die in der Definition eines metrischen Raums an eine Metrik gestellt werden: im Minkowski-Raum der Speziellen Relativitätstheorie gelten diese Bedingungen nur für Abstände, die entweder einheitlich raumähnlich oder einheitlich zeitähnlich sind. Für die Differentialgeometrie und die Allgemeine Relativitätstheorie bedeutsam ist, dass der metrische Tensor, anders als eine über inneres Produkt und Norm definierte Metrik, vom Ort abhängen kann.

Definition und Bedeutung

Der metrische Tensor g ist ein kovarianter Tensor zweiter Stufe über einem reellen Vektorraum V, :g : V × V → R. Damit man √g(x,x) als Länge des Vektors x deuten kann, ist zu fordern, dass g mindestens positiv semidefinit ist: Für alle x≠0 aus V muss :g(x,x) ≥ 0 gelten. In Anlehnung an die Unterscheidung zwischen Metrik und Pseudometrik wird manchmal sogar gefordert, dass der metrische Tensor positiv definit sein muss (dann wird in der vorstehenden Bedingung g≥0 zu g>0); ein Tensor g, der nur semidefinit ist, heißt dann genauer pseudometrischer Tensor. Wenn ein lokales Koordinatensystem xi gewählt wird, schreibt man die Komponenten von g als gij. Unter Verwendung der Einsteinschen Summationskonvention ist dann :g(x,x) = gijxixj. Die Länge eines Kurvensegments, dessen Punkte x(t) durch t∈[a;b] parametrisiert sind, wird mit Hilfe des metrischen Tensors als : L = \int_a^b \sqrtdt berechnet; der Winkel θ zwischen zwei Tangentialvektoren \mathbf=u^i und \mathbf=v^i ist gegeben durch : \cos \theta = \frac .

Beispiele

Euklidischer Raum

In einem Euklidischen Raum mit Kartesischen Koordinaten ist der metrische Tensor durch die Einheitsmatrix gegeben, :gij = δij. Für die Kurvenlänge : L = \int_a^b \sqrt und den Winkel : \cos \theta = \frac erhält man die üblichen Formeln der Vektoranalysis. Wenn eine Mannigfaltigkeit in einen Euklidischen Raum mit kartesischen Koordinaten eingebettet ist, dann ergibt sich ihr metrischer Tensor aus der Jacobi-Matrix J der Einbettung als :g = J^T J. In einigen anderen Koordinatensystemen lautet der metrische Tensor des Euklidischen Raums wie folgt:
- In Polarkoordinaten (x^1, x^2)=(r, \theta): ::g = \begin 1 & 0 \\ 0 & r^2\end
- In Zylinderkoordinaten (x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, z): ::g = \begin 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end
- In Kugelkoordinaten (x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, \varphi): ::g = \begin 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & (r\sin \theta)^2\end

Minkowski-Raum (spezielle Relativitätstheorie)

Der flache Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie beschreibt eine vierdimensionale Raum-Zeit ohne Gravitation. Räumliche Abstände und Zeitspannen hängen in diesem Raum von der Wahl eines Inertialsystems ab; wenn man einen physikalischen Vorgang in zwei verschiedenen, gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen beschreibt, können sie verschiedene Werte annehmen. Invariant unter Lorentztransformationen ist hingegen der sogenannte Viererabstand, der räumliche und zeitliche Abstände zusammenfasst. Unter Verwendung der Lichtgeschwindigkeit c berechnet sich dieser Viererabstand aus räumlichem Abstand Δx und Zeitspanne Δt als :Δs2=-c2(Δt)2+(Δx)2. Im Minkowski-Raum werden Orts- und Zeitkoordinaten als (x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct,x,y,z) zusammengefasst. Der metrische (genauer: pseudometrische) Tensor lautet in der meistverbreiteten Konvention (u.a. Pauli 1958, Landau-Lifschitz 1962, Misner, Thorne, Wheeler [Gravitation - das Dreimännerbuch] 1972) :g = \begin -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end\equiv diag(-1,1,1,1). In der älteren Literatur (Einstein, Eddington 1922, Weyl 1922) war die entgegesetzte Konvention diag(1,-1,-1,-1) gängig; vereinzelt wurde die zeitliche Koordinate ct auch als x4 geführt. Wenn t und nicht ct als Koordinate gewählt wird, muss die Lichtgeschwindigkeit in die Metrik gestellt werden, die dann ±diag(-c2,1,1,1) lautet. Besonders wichtig ist der metrische Tensor in der Allgemeinen Relativitätstheorie: dort ist er ortsabhängig, je nach Stärke des Gravitationsfeldes. Kategorie:Differentialgeometrie

Gravitationskonstante

Die Gravitationskonstante, meist durch das Formelzeichen G oder \gamma dargestellt, ist eine ursprünglich von Isaac Newton eingeführte Universalkonstante, die bei bekanntem Abstand zweier punktförmiger, massiver Objekte deren gegenseitige Massenanziehungskraft bestimmt. Die Gravitationskonstante spielt auch in der Theorie der Gravitation – der allgemeinen Relativitätstheorie – eine fundamentale Rolle. Im SI-System hat sie nach CODATA 2002 den Wert :G = (66742\pm 00010) \cdot 10^~\mathrm G bezeichnet dann die Anziehungskraft zweier punktförmiger Massen von je 1 Kilogramm in einer Entfernung von 1 Meter. Der erste Wert für die Gravitationskonstante wurde indirekt von Henry Cavendish im Jahre 1798 mit einer Drehwaage im so genannten Cavendish-Experiment ermittelt. Erst mit der Kenntnis von G konnten die Massen von Himmelskörpern präzise bestimmt werden. Die Gravitationskonstante führt über das Gravitationsgesetz zur Masse M und zur mittleren Dichte \rho des jeweiligen Körpers (z. B. der Erde), sofern der mittlere Radius r und die Oberflächenbeschleunigung g bekannt sind: Masse: :M = \, r^2 \cdot g Dichte: :\rho= Unter allen Naturkonstanten ist G zur Zeit diejenige mit der größten relativen Ungenauigkeit. Sie liegt, wie aus obiger Angabe zu entnehmen ist, bei 15 \cdot 10^ (zum Vergleich: Das Plancksche Wirkungsquantum hat z.B. eine relative Ungenauigkeit von 17 \cdot 10^ ). Der Grund für diesen recht unbefriedigenden Zustand liegt zum einen in der relativ geringen Stärke der Gravitation im Vergleich zu den anderen Naturkräften (die zum Beispiel dazu führt, dass Messgeräte wie Torsionswaagen extrem gut geerdet sein müssen, um Einflüsse der elektromagnetischen Wechselwirkung zu unterbinden) und zum anderen am zwangsweisen Störeinfluss der Erdmasse auf alle erdgebundenen Messungen. Siehe auch: Gaußsche Gravitationskonstante

Weblinks


- [http://www.fys-online.de/wissen/ph/gravitation/gravitationskonstante.htm Die Gravitationskonstante γ] Kategorie:Gravitation Kategorie:Himmelsmechanik ja:万有引力定数 ko:중력상수

Schwarzschildradius

Der Schwarzschildradius ist der Radius, den eine Massekugel haben muss, damit die Fluchtgeschwindigkeit an ihrer Oberfläche der Lichtgeschwindigkeit entspricht. Pierre-Simon Laplace war der erste, der sich mit der Frage auseinandersetzte, wie groß die Anziehungskraft eines Himmelskörpers sein muß, damit Licht nicht mehr von seiner Oberfläche entweichen kann. Unter Benutzung der Newtonschen Gravitationstheorie, fand er eine Beziehung zwischen dem Radius des Himmelskörpers und seiner Masse. Diesen Radius hat Karl Schwarzschild 1916 in einer allgemeinrelativistischen Rechnung wiedergefunden und wurde ihm zu Ehren als Schwarzschildradius bezeichnet. Die durch den Schwarzschildradius gegebene Kugeloberfläche wird als Ereignishorizont bezeichnet. Ein Beobachter, der sich außerhalb dieser Kugeloberfläche befindet, kann keinerlei Informationen über den Raumbereich erhalten, der sich hinter dieser Kugeloberfläche befindet. Ein solcher Beobacher nimmt den von der Kugeloberfläche eingeschlossenen Bereich als ein sogenanntes schwarzes Loch wahr. Gemäß der speziellen Relativitätstheorie wird eine Information maximal mit Lichtgeschwindigkeit übertragen. Der Zukunftslichtkegel eines Ereignisses innerhalb des Schwarzschildradius wird durch die Schwerkraft festgehalten, so dass nichts mehr (auch keine Information) aus dem Gravitationsfeld der Massekugel entweichen kann. Das ist gerade deshalb der Fall, weil sich der Zukunftslichtkegel mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet, diese aber nicht als Fluchtgeschwindigkeit ausreicht, um der Schwerkraft des schwarzen Loches zu entkommen. Umgekehrt folgt daraus, dass sich der Bereich innerhalb des Ereignishorizonts nicht im Vergangenheitslichtkegel eines beliebigen Beobachters befindet. Neue Überlegungen haben allerdings gezeigt, daß schwarze Löcher Energie (und damit Masse) in Form von Hawking-Strahlung (nach dem britischen Physiker Stephen Hawking) abgeben, so dass die Aussage, nichts könne aus einem Schwarzen Loch entkommen, nur noch bedingt richtig ist.

Theorie

Der Schwarzschildradius rs ergibt sich aus einer Vakuum-Lösung (Schwarzschild-Lösung) der Allgemeinen Relativitätstheorie, und wird durch folgende Formel berechnet: : r_s = wobei G die Gravitationskonstante, M die Masse des Objekts und c die Lichtgeschwindigkeit ist. Diese Formel ergibt sich auch, wenn man für die newtonsche (nichtrelativistische) Fluchtgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit wählt. Man kann jeder Masse einen Schwarzschildradius zuordnen, der der Erde beträgt lediglich 9 Millimeter. Rotierende oder inhomogene Massen haben eine mathematisch schwierigere Lösung, die zu nicht kugelförmigen Ereignishorizonten (Gravitationsradius der Kerr-Metrik) führen. Insofern beschreibt der Schwarzschildradius den Ereignishorizont einer speziellen, nämlich kugelsymmetrischen Masseverteilung. Siehe auch: Gravitation, Schwarzes Loch, Stephen Hawking Kategorie:Himmelsmechanik Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie ja:シュヴァルツシルト半径

Koordinatensingularität

Von einer Koordinatensingularität spricht man, wenn ein Koordinatensystem aufgrund seiner besonderen Eigenschaften für einen bestimmten Punkt keine eindeutigen Koordinaten angeben kann. So sind zum Beispiel an Nord- und Südpol der Erde eindeutige Angaben zur geografischen Länge weder möglich noch erforderlich, da sich alle Längenkreise in diesem Punkt schneiden. Anders als bei einer echten Singularität ist eine Koordinatensingularität für einen Beobachter ohne Auffälligkeit, da sie nur aufgrund eine „Unzulänglichkeit“ des Koordinatensystems erscheint; sie verschwindet bei Anwendung eines geeigneteren Koordinatensystems. kategorie:Geographie

Schwarzschildradius

Der Schwarzschildradius ist der Radius, den eine Massekugel haben muss, damit die Fluchtgeschwindigkeit an ihrer Oberfläche der Lichtgeschwindigkeit entspricht. Pierre-Simon Laplace war der erste, der sich mit der Frage auseinandersetzte, wie groß die Anziehungskraft eines Himmelskörpers sein muß, damit Licht nicht mehr von seiner Oberfläche entweichen kann. Unter Benutzung der Newtonschen Gravitationstheorie, fand er eine Beziehung zwischen dem Radius des Himmelskörpers und seiner Masse. Diesen Radius hat Karl Schwarzschild 1916 in einer allgemeinrelativistischen Rechnung wiedergefunden und wurde ihm zu Ehren als Schwarzschildradius bezeichnet. Die durch den Schwarzschildradius gegebene Kugeloberfläche wird als Ereignishorizont bezeichnet. Ein Beobachter, der sich außerhalb dieser Kugeloberfläche befindet, kann keinerlei Informationen über den Raumbereich erhalten, der sich hinter dieser Kugeloberfläche befindet. Ein solcher Beobacher nimmt den von der Kugeloberfläche eingeschlossenen Bereich als ein sogenanntes schwarzes Loch wahr. Gemäß der speziellen Relativitätstheorie wird eine Information maximal mit Lichtgeschwindigkeit übertragen. Der Zukunftslichtkegel eines Ereignisses innerhalb des Schwarzschildradius wird durch die Schwerkraft festgehalten, so dass nichts mehr (auch keine Information) aus dem Gravitationsfeld der Massekugel entweichen kann. Das ist gerade deshalb der Fall, weil sich der Zukunftslichtkegel mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet, diese aber nicht als Fluchtgeschwindigkeit ausreicht, um der Schwerkraft des schwarzen Loches zu entkommen. Umgekehrt folgt daraus, dass sich der Bereich innerhalb des Ereignishorizonts nicht im Vergangenheitslichtkegel eines beliebigen Beobachters befindet. Neue Überlegungen haben allerdings gezeigt, daß schwarze Löcher Energie (und damit Masse) in Form von Hawking-Strahlung (nach dem britischen Physiker Stephen Hawking) abgeben, so dass die Aussage, nichts könne aus einem Schwarzen Loch entkommen, nur noch bedingt richtig ist.

Theorie

Der Schwarzschildradius rs ergibt sich aus einer Vakuum-Lösung (Schwarzschild-Lösung) der Allgemeinen Relativitätstheorie, und wird durch folgende Formel berechnet: : r_s = wobei G die Gravitationskonstante, M die Masse des Objekts und c die Lichtgeschwindigkeit ist. Diese Formel ergibt sich auch, wenn man für die newtonsche (nichtrelativistische) Fluchtgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit wählt. Man kann jeder Masse einen Schwarzschildradius zuordnen, der der Erde beträgt lediglich 9 Millimeter. Rotierende oder inhomogene Massen haben eine mathematisch schwierigere Lösung, die zu nicht kugelförmigen Ereignishorizonten (Gravitationsradius der Kerr-Metrik) führen. Insofern beschreibt der Schwarzschildradius den Ereignishorizont einer speziellen, nämlich kugelsymmetrischen Masseverteilung. Siehe auch: Gravitation, Schwarzes Loch, Stephen Hawking Kategorie:Himmelsmechanik Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie ja:シュヴァルツシルト半径

Категорија:Кец из физике

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Financial Information
 20042003
Net Sales
(US$M)		19,65620,255
Net Income (Loss)
(US$M)		623
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History

Originally, the area's name was read Takatanobaba and many Tokyo residents in their 50s or older pronounce it this way. However, younger Tokyoites and residents who have come from outside Tokyo, use the pronunciation Takadanobaba. The area is also often referred to simply as "Baba". The area was previously known as Totsuka (戸塚). In <
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